七种未定式计算

泰勒公式

$$f(x_0+h)=f(x_0)+hf'(x_0)+\frac{h^2}{2}f''(x_0)+o(h^2)$$

在PDE（Partial Difference Equation）偏微分方程中我们会利用泰勒展开式对某一点进行展开

在上面的式子中

$x-x_0=h$

所以上面的式子还可以写成

$$f(x)=f(x_0)+hf'(x_0)+\frac{h^2}{2}f''(x_0)+o(h^2)$$

特别地在我们令$x_0=0$时，我们就可以得到特定函数的展开式

$$f(x)=f(0)+hf'(0)+\frac{h^2}{2}f''(0)+o(h^2)$$

例如对于$\tan x$

我们先写出其多次求导的式子

$$\tan'x = (\frac{\sin x}{\cos x})'=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x\\ tan''x = (\frac{1}{\cos^2x})'=\frac{-2\cos x (-\sin x)}{\cos^4x}=\frac{2\sin x}{\cos ^3x}=2\tan x\sec x\\ tan'''x = (\frac{2\sin x}{\cos ^3x})'=\frac{2\cos^4x-2\sin x\cdot3\cos^2x(-\sin x)}{\cos^6x}=\frac{2\cos^2x+6\sin^2x}{\cos^4x}\\$$

按照泰勒公式展开

$$\tan x = \tan 0+x\sec^20+\frac{x^2}{2}2\tan0\sec0+\frac{x^3}{6}\frac{2\cos^20+6\sin^20}{\cos^40}+o(x^3)\\ =x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$

例题1

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{\tan x}-e^x}{x^3}\\ 分子提出e^x\\ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^x(e^{\tan x-x}-1)}{x^3}\\ 我们知道\lim_{x\rightarrow 0}e^x=0\\ 所以原式=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{\tan x-x}-1}{x^3}\\$$