泛函分析笔记

20220829

引入

空间的定义

泛函分析中的空间指的是一个赋予了某种结构(代数结构、拓扑结构)的非空集合

学习建议

• 深入了解它们的来源和背景
• 注意研究一些重要的、一般性的定理的深刻的、具体的定义
• 不可从概念到概念，纯形式地理解抽象定理证明的推演

距离空间的基本概念

定义

为什么引入距离？

• 微积分中引入的最重要的概念是极限
• 极限的概念立足于距离

实数列的极限定义

$设{x_n}是实数集,x是实数.若任给\varepsilon > 0,存在N,当n>N时,$

$$|x_n-x|<\varepsilon,$$

$则称{x_n}的极限是x$

平面点列的极限定义

$设{x_n}={(\xi_n,\eta_n)},x=(\xi,\eta).若任给\varepsilon > 0,存在N,当n>N时,$

$$\sqrt{(\xi_n-\xi)^2+(\eta_n-\eta)^2}<\varepsilon,$$

$则称{x_n}的极限是x$

实数中的距离

$记\mathbb{R}为实数集.对任意的x,y\in\mathbb{R},它们的距离为d(x,y)=|x-y|$

$该距离满足:$

• $d(x,y)\geq0,d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y;$ (非负性)
• $d(x,y)=d(y,x);$ (对称性)
• $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y);$ (三角不等式)

例子

收敛

20220905